Ecuaciones Bicuadráticas

noviembre 20, 2009 a 22:31 (Ciencia, Matemáticas)

Las ecuaciones tienen casi la misma antigüedad que la Aritmética: en tablillas cuneiformes encontradas en Babilonia, se ha comprobado que planteaban y resolvían problemas mediante ecuaciones, en torno a 2000 años antes de nuestra era.

Las ecuaciones bicuadráticas, también llamadas de segundo grado, que en su fórmula general las expresamos de la forma <<ax² + bx + c=0>>, también eran conocidas por ellos, y eran capaces de resolverlas mediante una secuencia de operaciones que dejaron descritas.

La solución a este tipo de ecuaciones son conocidas hoy en día como:

Básicamente existen 3 tipos de soluciones a estas ecuaciones:

1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x), como en la gráfica del la figura de la parte superior;
2. Una solución real doble, en la que la parábola sólo toca en un punto al eje x;
3. Dos números complejos conjugados (la parábola y el eje x no se cruzan);

Se ha hablado mucho acerca de cómo estos pueblos antiguos pudieron llegar a conocer esa solución, y se cree que lo resolvían de una manera geométrica, intentando completar un cuadrado, algo parecido a lo que se enseña hoy en día.

Vamos a realizar la demostración para el caso particular << x² + bx =b >>: para ello nos vamos a apoyar en la geometría, para buscar como figura final un cuadrado, y de esta forma poder expresar de una manera más fácil su resultado final.

Como se observa en la figura inferior, el cuadrado y el rectángulo de la operación suma, tienen por altura el valor <<x>>, pero la anchura del cuadrado es superior a la del rectángulo, siendo éstas <<x>> y <<a>> respectivamente. Además, la suma de ambos debe dar como resultado un rectángulo cuya área o superficie representaremos con <<b>>

Ahora nos apoyamos en una equivalencia geométrica, que sería dividir el rectangulo <<ax>> por la mitad, por lo que se puede expresar como <<2(a x/2)>>

A continuación vamos a realizar otra equivalencia, que sería pegar cada uno de esas mitades del rectángulo, en dos de los lados del cuadrado, por lo tanto tendríamos la siguiente situación:

Una vez obtenido esta figura equivalente a la suma de las dos, vamos a proceder a rellenar el cuadrado que falta, de un color gris, para conseguir tener un cuadrado como resultado de total de la figura de la parte izquierda. Añadimos la misma área a la figura resultante de la derecha, para mantener la equivalencia, y obtendríamos dos figuras como las representadas en la imagen inferior:

Por lo tanto llegamos a la siguiente equivalencia:

x² + 2(a x/2) +(a /2)² = b +(a /2)²

La primera figura es un cuadrado, por lo que podríamos expresarlo como:

(x + a /2)² = b +(a /2)²

Si aplicamos la operación raíz a ambos lados de la igualdad

Si ahora despejamos la x en la ecuación, llegamos a la definición que conocían en Babilonia.

Si se aplica esta misma metodología en el caso general, llegamos a la formula que conocemos, los pasos serían similares, con la única diferencia, que inicialmente dividamos todas las figuras por la cantidad <<a>>, para dejar el la x² multiplicado por la unidad, es decir:

Lo que nos lleva a la siguiente expresión:

x² + bx/a = -c/a

Si realizamos las mismas operaciones aritméticas que para el ejemplo anterior, finalizaríamos con una figura como la que se muestra a continuación:

Por lo tanto llegamos a la siguiente equivalencia:

x² + 2(a x/2) +(a /2)² = -c/a + ( b /2a)²

La primera figura es un cuadrado, por lo que podríamos expresarlo como:

(x + b /2a)² = -c/a + ( b /2a)²

Si aplicamos la operación raíz a ambos lados de la igualdad:

y tenemos como resultado la formula que se emplea para la solución de las mismas, expresada de otra manera equivalente.