Teorema del coseno

Este teorema puede usarse para calcular la longitud de un lado del triángulo, cuando se conoce el ángulo opuesto y la longitud de alguno de los otros dos lados, el teorema se puede expresar como:

El famoso teorema de Pitágoras, no es mas que un caso particular de este teorema, para un triángulo rectángulo, en el que el ángulo opuesto vale 90º por lo que su coseno tiene un valor nulo y queda reducido a:

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Logaritmos

Los números se pueden expresar de manera exponencial, así 25 quiere decir que 2 se multiplica por si mismo 5 veces. Representar los números de esta forma tiene una gran ventaja, y es que podemos sustituir las multiplicaciones y divisiones, por sumas y restas equivalentes, que son menos laboriosas de realizar.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo:

24 tiene un valor de 16, y 25 equivale a 32, 29 a su vez vale 512.

El producto de 16 * 32 = 512;

Por lo que se puede observar  que 24 + 25 = 29;

Como hemos visto 16 es igual 24 y 32 es equivalente a 25, por lo que por ejemplo 29, será igual a 2 elevado a un numero entre 4 y 5. El matemático escocés Jonn Napier dedicó años a calcular las fórmulas que diesen los exponentes para una gran cantidad de números, y las llamó <<logaritmos>>, de una palabra griega que significa “números proporcionales”. En 1614 publicó esta tabla logarítmica, demostrando su utilidad como herramienta para superar algunos complicados cálculos que los científicos se veían obligados a realizar. Los logaritmos fueron esenciales durante los tres siguientes siglos.

Los números poligonales

Se llaman así a los números que pueden ser representados como puntos dispuestos en forma de polígono regular. Estos números ya era conocidos y estudiados por los pitagóricos, Diofanto le dedicó un tratado a su estudio.

Existe una fórmula general para obtener la fórmula particular de cada polígono:

S =

Los números triangulares

Para el caso de b = 1, se obtienen los números triangulares, que nos llevaría a la sucesión definida por la siguiente fórmula.

S = ½ n (n + 1);   S = 1,3,6,10,15,21,28,36,49,64,81…

Los números cuadrados

Para el caso de b = 2, se obtienen los números cuadrados, que nos llevaría a la sucesión definida por la siguiente fórmula.

S = n2; S = 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169

Los números pentagonales

Para el caso de b = 3, se obtienen los números cuadrados, que nos llevaría a la sucesión definida por la siguiente fórmula.

S = ½ n (3n – 1); S = 1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176

Así podríamos continuar con los hexágonos, heptágonos y cualquier polígono regular.

Generación de números perfectos

Se llama número perfecto, a aquel número natural que tiene como característica esencial, que es igual a la suma de sus divisores propios, sin incluirse él mismo.

El ejemplo más claro lo tenemos en el numero 6, ya que sus divisores son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.

Ya en la antigüedad se conocían los primeros cuatro números perfectos <<6, 28, 496 y 8128>>. Euclides en su libro de los elementos ya los describe, y explica una fórmula para obtenerlos que se resume de la siguiente forma:

Se parte de una lista con las potencias de dos numeradas: <<1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048…>>, se empiezan a sumar los términos, y se examina el resultado de la suma; si este valor es un número primo, entonces al multiplicarlo por el último término sumado nos da como resultado un número perfecto. Si no es primo entonces no dará como resultado un número perfecto. A continuación se muestran algunos ejemplos de este método.

1 + 2 + 4 = 7, es un número primo, luego si multiplicamos 7 por el último elemento de base dos sumado tendríamos, 4 * 7 = 28, que como hemos dicho es un número perfecto.

Si continuamos buscando el siguiente número perfecto, sumaríamos la siguiente potencia de 2.

1 + 2+ 4+ 8 = 15, que no es un número primo, luego no genera un número perfecto.

Pero el siguiente sumando de las potencias de base 2, sí que nos genera un nuevo número perfecto. 1+2+4+8+16 = 31, que es número primo; entonces si multiplicamos éste por el último sumando 31 * 16 = 496, que es un número perfecto.

Este método de descrito por Euclides, puede resumirse en una fórmula simplificada y más sencilla que nos indica que siempre que 2n – 1 sea primo, entonces (2n – 1) * 2n-1 generará un número  perfecto.

Como por ejemplo para n = 7, si lo aplicamos a esa fórmula  general anteriormente descrita, tenemos (27 – 1) * 26 = 8128, que corresponde a otro número  perfecto.

Trigonometría una técnica matemática fundamental

La trigonometría se puede definir como una rama de la Matemática, que procede del griego <<trigōno metron>>, y significa <<la medición de los triángulos>>.

La trigonometría es una herramienta universal, ampliamente utilizada en nuestros días. Desde campos como la Topografía, la Astronomía para la medición de la distancias espaciales, hasta la navegación con sistemas GPS como los usados en coches o aviación.

Parece estar claro que el inicio de la Trigonometría está relacionado con las necesidades astronómicas de los primeros investigadores del espacio y lo desconocido. Históricamente siempre han estado asociados a los logaritmos, que es un ingenioso método “por el que convertir complejas multiplicaciones en sumas que son mucho más sencillas”. El hallazgo de los logaritmos fue clave y básico para poder solventar los farragosos y complicados cálculos astronómicos. Mucho mérito y reconocimiento se merecen los primeros matemáticos que dedicaron gran parte de su vida en el cálculo de estas primeras tablas logarítmicas.

La trigonometría euclidiana, que basa su estudio en el plano, se centra principalmente en el estudio de las propiedades de un triángulo <<longitud de los lados y tamaño de los ángulos>>. A través de unas funciones especiales como son el seno, coseno y tangente. Estas funciones se aplican a un ángulo, que se suele representar por la letra griega θ <<theta>>. Si partimos de un triángulo como el representado en la figura.

Entonces:

El seno de α es el cateto opuesto entre la hipotenusa  (lado más largo):                         sen α = a / c

El coseno de α es el cateto adyacente entre la hipotenusa: cos α = b / c

La tangente de α se define como el cateto opuesto entre el cateto adyacente, o lo que es lo mismo, el seno entre el coseno: tg α = a / b

Asociada a estas fórmulas aparecieron muchas otras gracias al estudio de grandes matemáticos de todos los tiempos; entre ellas destaca la que surge del teorema de Pitágoras, que aplicada a las funciones trigonométricas, nos lleva indefectiblemente a la siguiente expresión:

Sen2 θ + cos2 θ = 1

Como hemos indicado anteriormente, los comienzos de la Trigonometría están unidos al estudio de la Astronomía. El astrónomo griego Aristarco, sobre el año 260 a.C., en una obra sobre las estrellas y las distancias al sol y a la luna. Dedujo que el sol se encontraba entre 18 y 20 veces más lejano que la luna, “hoy en día sabemos que es cerca de 400 veces mayor esa distancia”. ¿En qué se basó para dar esa cifra Aristarco?.

Su razonamiento se centraba, en que al estar la Luna en cuarto, el ángulo que formaban las direcciones del observador con el Sol y la Luna, eran de unos 87 º, entonces el sen 3 º sabía que se encontraba entre 1/18 y 1/20, de ahí su deducción. Aunque el método empleado es correcto, lo que no fueron correctos son las mediciones del ángulo, ya que este es de 89,8º

α calculado por Aristarco era de 87 º, hoy se sabe que este ángulo es superior con un valor de 98,8 º, muy cercano al ángulo recto.

Además estos primeros astrónomos se enfrentaron a otro problema, y es que el espacio natural sobre el que trabajaban no era el plano, sino la esfera, ya que todo lo que rodea a un observador es una esfera, y los cuerpos celestes se encuentran envueltos en esta superficie esférica, por lo que los cálculos a realizar deberían someterse a la geometría esférica y no euclidiana o sobre el plano, que es la más sencilla comúnmente enseñada.

Una de las primeras obras que abordan el estudio de este tipo de geometría esférica, fue escrita por Menelao, en torno al año 100, y llevaba por título <<Sphaerica>>. En este tipo de geometría las relaciones entre las funciones son distintas, aunque permanece el concepto de seno, coseno y demás. Sí que las condiciones varían considerablemente. Basta con decir que en la geometría esférica, los ángulos de un triángulo no suman 180 º, como lo hace en el plano.

Como ejemplo veamos la siguiente figura, en la que se muestra un triángulo sobre una esfera, en este caso la Tierra, uno de sus vértices recaería sobre el polo norte, y los otros dos, en dos puntos del ecuador separados 90 º, tendría la propiedad de tener los tres ángulos iguales y con un valor del 90 º, por lo tanto la suma de todos sus ángulos valdría 270 º.

Como se puede apreciar, en la geometría no euclidiana, todo se complica enormemente y para poder solventar la resolución de los cálculos, las tablas logarítmicas y trigonométricas hicieron posible los mismos.

Ecuaciones Bicuadráticas

Las ecuaciones tienen casi la misma antigüedad que la Aritmética: en tablillas cuneiformes encontradas en Babilonia, se ha comprobado que planteaban y resolvían problemas mediante ecuaciones, en torno a 2000 años antes de nuestra era.

Las ecuaciones bicuadráticas, también llamadas de segundo grado, que en su fórmula general las expresamos de la forma <<ax2 + bx + c=0>>, también eran conocidas por ellos, y eran capaces de resolverlas mediante una secuencia de operaciones que dejaron descritas.

La solución a este tipo de ecuaciones son conocidas hoy en día como:

Básicamente existen 3 tipos de soluciones a estas ecuaciones:

  1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x), como en la gráfica del la figura de la parte superior;
  2. Una solución real doble, en la que la parábola sólo toca en un punto al eje x;
  3. Dos números complejos conjugados (la parábola y el eje x no se cruzan);

Se ha hablado mucho acerca de cómo estos pueblos antiguos pudieron llegar a conocer esa solución, y se cree que lo resolvían de una manera geométrica, intentando completar un cuadrado, algo parecido a lo que se enseña hoy en día.

Vamos a realizar la demostración para el caso particular << x2 + bx =b >>: para ello nos vamos a apoyar en la geometría, para buscar como figura final un cuadrado, y de esta forma poder expresar de una manera más fácil su resultado final.

Como se observa en la figura inferior, el cuadrado y el rectángulo de la operación suma, tienen por altura el valor <<x>>, pero la anchura del cuadrado es superior a la del rectángulo, siendo éstas <<x>> y <<a>> respectivamente. Además, la suma de ambos debe dar como resultado un rectángulo cuya área o superficie representaremos con <<b>>

Ahora nos apoyamos en una equivalencia geométrica, que sería dividir el rectangulo <<ax>> por la mitad, por lo que se puede expresar como <<2(a x/2)>>

A continuación vamos a realizar otra equivalencia, que sería pegar cada uno de esas mitades del rectángulo, en dos de los lados del cuadrado, por lo tanto tendríamos la siguiente situación:

Una vez obtenido esta figura equivalente a la suma de las dos, vamos a proceder a rellenar el cuadrado que falta, de un color gris, para conseguir tener un cuadrado como resultado de total de la figura de la parte izquierda. Añadimos la misma área a la figura resultante de la derecha, para mantener la equivalencia, y obtendríamos dos figuras como las representadas en la imagen inferior:

Por lo tanto llegamos a la siguiente equivalencia:

x2 + 2(a x/2) +(a /2)2 = b +(a /2)2

La primera figura es un cuadrado, por lo que podríamos expresarlo como:

(x + a /2)2 = b +(a /2)2

Si aplicamos la operación raíz a ambos lados de la igualdad

Si ahora despejamos la x en la ecuación, llegamos a la definición que conocían en Babilonia.

Si se aplica esta misma metodología en el caso general, llegamos a la formula que conocemos, los pasos serían similares, con la única diferencia, que inicialmente dividamos todas las figuras por la cantidad <<a>>, para dejar el la x2 multiplicado por la unidad, es decir:

Lo que nos lleva a la siguiente expresión:

x2 + bx/a = -c/a

Si realizamos las mismas operaciones aritméticas que para el ejemplo anterior, finalizaríamos con una figura como la que se muestra a continuación:

Por lo tanto llegamos a la siguiente equivalencia:

x2 + 2(a x/2) +(a /2)2 = -c/a + ( b /2a)2

La primera figura es un cuadrado, por lo que podríamos expresarlo como:

(x + b /2a)2 = -c/a + ( b /2a)2

Si aplicamos la operación raíz a ambos lados de la igualdad:

y tenemos como resultado la formula que se emplea para la solución de las mismas, expresada de otra manera equivalente.